Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số $y=f\left( x \right)$, $p$ và $q$ là hai số dương tùy ý. Khi đó:
- Tịnh tiến $\left( C \right)$ lên trên $q$ đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số $y=f\left( x \right)+q$.
- Tịnh tiến $\left( C \right)$ xuống dưới $q$ đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số $y=f\left( x \right)-q$.
- Tịnh tiến $\left( C \right)$ sang trái $p$ đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số $y=f\left( x+p \right)$.
- Tịnh tiến $\left( C \right)$ sang phải $p$ đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số $y=f\left( x-p \right)$.
þ Mẫu 1: Cho đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$$\left( C \right)$ thì đồ thị hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ gồm 2 phần.
- Phần 1: Là phần đồ thị hàm số $\left( C \right)$ nằm phía trên trục hoành.
- Phần 2: Lấy đối xứng phần của $\left( C \right)$ nằm dưới $Ox$ qua $Ox$.
þ Mẫu 2: Cho đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$$\left( C \right)$ suy ra đồ thị hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right)$ gồm hai phần
- Phần 1: Là phần của $\left( C \right)$ nằm bên phải trục tung.
- Phần 2: Lấy đối xứng phần 1 qua trục tung (vì hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right)$ là hàm chẵn nên nhận trục tung là trục đối xứng).
þ Mẫu 3: Cho đồ thị hàm số $y=u\left( x \right).v\left( x \right)\left( C \right)$ thì đồ thị hàm số $y=\left| u\left( x \right) \right|.v\left( x \right)$ gồm hai phần.
- Phần 1: Là phần của $\left( C \right)$ ứng với miền $u\left( x \right)\ge 0$.
- Phần 2: Lấy đối xứng phần của $\left( C \right)$ ứng với miền $u\left( x \right)<0$ qua trục $Ox$.
Bài tập 1: Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}$ có đồ thị như hình vẽ.
Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $\left| {{x}^{4}}-2{{x}^{2}} \right|=m$ có 4 nghiệm phân biệt A. $m=1$ B. $m=0$ C. $m>1$ D. $0<m<1$ |
Lời giải chi tiết
Gọi $y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}\left( C \right)$. Đồ thị hàm số $y=\left| {{x}^{4}}-2{{x}^{2}} \right|$ gồm 2 phần:
Phần 1: Là phần đồ thị hàm số $\left( C \right)$ nằm phía bên trục hoành.
Phần 2: Lấy đối xứng phần của $\left( C \right)$ nằm dưới $Ox$ qua $Ox$.
Dựa vào đồ thị hàm số $y=\left| {{x}^{4}}-2{{x}^{2}} \right|$ (hình vẽ) và đường thẳng $y=m$.
Suy ra phương trình $\left| {{x}^{4}}-2{{x}^{2}} \right|=m$ có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi hai đồ thị có 4 giao điểm. Khi đó $m=1$. Chọn A.
Bài tập 2: Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị hàm số $y=\left| {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-2 \right|$ tại 6 điểm phân biệt.
A. $2<m<3$ B. $2<m<4$ C. $m=3$ D. $0<m<3$ |
Lời giải chi tiết
Vẽ đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-2\left( C \right)$. Khi đó đồ thị hàm số $y=\left| {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-2 \right|$ gồm 2 phần:
Phần 1: Là phần đồ thị hàm số $\left( C \right)$ nằm phía bên trên trục hoành.
Phần 2: Lấy đối xứng phần của $\left( C \right)$ nằm dưới $Ox$ qua $Ox$.
Dựa vào đồ thị hàm số (hình vẽ bên) để đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị $\left( C \right)$ tại 6 điểm phân biệt khi và chỉ khi $2<m<3$. Chọn A.
Bài tập 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $\left| 3x-{{x}^{3}}+1 \right|+m-2=0$ có sáu nghiệm phân biệt.
A. $1<m<2$ B. $0\le m\le 1$ C. $1\le m\le 2$ D. $0<m<1$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: PT $\Leftrightarrow \left| -{{x}^{3}}+3x+1 \right|=2-m\left( * \right)\Rightarrow $ Phương trình (*) là phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hàm số $y=\left| 3x-{{x}^{3}}+1 \right|$ và đường thẳng $y=2-m$ vuông góc với trục tung. Phương trình đã cho có sáu nghiệm phân biệt khi và chỉ khi hai đồ thị cắt nhau tại 6 điểm phân biệt. Ta có đồ thị hai hàm số như hình bên. Để hai đồ thị cắt nhau tại 6 điểm thì $0<2-m<1\Leftrightarrow 1<m<2$. Chọn A.
Bài tập 4: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên.
Số nghiệm thực của phương trình $\left| 2f\left( x \right)+1 \right|=5$ là: A. 3 B. 5 C. 2 D. 4 |
Lời giải chi tiết
Ta có: $\left| 2f\left( x \right)+1 \right|=5\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} 2f\left( x \right)+1=5 \\ {} 2f\left( x \right)+1=-5 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} f\left( x \right)=2 \\ {} f\left( x \right)=-3 \\ \end{array} \right.$
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy, phương trình $f\left( x \right)=2$ có 2 nghiệm và phương trình $f\left( x \right)=-3$ có một nghiệm nên phương trình đã cho có 3 nghiệm. Chọn A.
Bài tập 5: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên.
Số nghiệm thực của phương trình $\left| 2f\left( x \right)+3 \right|=8$ là: A. 7 B. 5 C. 4 D. 6 |
Lời giải chi tiết
Ta có: $\left| 2f\left( x \right)+3 \right|=8\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} 2f\left( x \right)+3=8 \\ {} 2f\left( x \right)+3=-8 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} f\left( x \right)=\frac{5}{2} \\ {} f\left( x \right)=\frac{-11}{2} \\ \end{array} \right.$
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy, phương trình
có 4 nghiệm và phương trình $f\left( x \right)=\frac{-11}{2}$ có 2 nghiệm nên phương trình đã cho có 6 nghiệm. Chọn D.
Bài tập 6: Hình bên là đồ thị hàm số $y=2{{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+1$.
Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $\left| {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+\frac{1}{2} \right|=2m$ có 8 nghiệm phân biệt A. $0<m<\frac{1}{2}$ B. $-\frac{1}{4}<m<\frac{1}{2}$ C. $0<m<\frac{1}{4}$ D. $m\ge \frac{1}{4}$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: PT $\Leftrightarrow \left| 2{{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+1 \right|=4m$
Gọi $y=2{{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+1\left( C \right)$
Đồ thị hàm số $y=\left| 2{{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+1 \right|$ gồm 2 phần:
Phần 1: Là phần đồ thị hàm số $\left( C \right)$ nằm phía bên trên trục hoành.
Phần 2: Lấy đối xứng phần của $\left( C \right)$ nằm dưới $Ox$ qua $Ox$.
Dựa vào đồ thị hàm số $y=\left| 2{{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+1 \right|$ và đường thẳng $y=4m$ suy ra phương trình đã cho có 8 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi hai đồ thị có 8 giao điểm. Hai đồ thị có 8 giao điểm
$\Leftrightarrow 0<4m<1\Leftrightarrow 0<m<\frac{1}{4}$. Chọn C.
Bài tập 7: Biết rằng hàm số $y={{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+3$ có bảng biến thiên như sau:
Tìm $m$ để phương trình $\left| {{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+3 \right|=m$ có đúng 4 nghiệm phân biệt. A. $1<m<3$ B. $m>3$ C. $m=0$ D. $m\in \left( 1;3 \right)\cup \left\{ 0 \right\}$ |
Lời giải chi tiết
Vẽ đồ thị hàm số $y=\left| {{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+3 \right|\left( {{C}'} \right)$
Ký hiệu $y={{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+3\left( C \right)$ khi đó $\left( {{C}'} \right)$ gồm 2 phần:
Phần 1: Là phần của $\left( C \right)$ nằm trên trục $Ox$.
Phần 2: Lấy đối xứng phần của $\left( C \right)$ nằm dưới $Ox$ qua trục $Ox$
Để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt thì đường thẳng $y=m$ cắt $\left( C \right)$ tại 4 điểm phân biệt
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} m=0 \\ {} 1<m<3 \\ \end{array} \right.$. Chọn D.
Bài tập 8: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như hình vẽ.
Với $m\in \left( 1;3 \right)$ thì phương trình $\left| f\left( x \right) \right|=m$ có bao nhiêu nghiệm? A. 4 B. 3 C. 2 D. 5 |
Lời giải chi tiết
Phương trình $\left| f\left( x \right) \right|=m$ là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ và đường thẳng $y=m$ song song trục hoành có đồ thị ở hình bên. Hai đồ thị có bao nhiêu giao điểm thì PT $\left| f\left( x \right) \right|=m$ có bấy nhiêu nghiệm.
$m\in \left( 1;3 \right)$ thì hai đồ thị có 4 giao điểm, suy ra PT $\left| f\left( x \right) \right|=m$ có 4 nghiệm. Chọn A.
Bài tập 9: Cho hàm số $y=f\left( x \right)=\left( {{x}^{2}}+x-2 \right).g\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ.
Gọi $S$ là tập hợp các giá trị nguyên của $m$ để phương trình $\left| {{x}^{2}}+x-2 \right|.g\left( x \right)=m$ có 3 nghiệm phân biệt. Tổng các phần tử của $S$ là: A. 4 B. 6 C. $-6$ D. $-4$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: ${{x}^{2}}+x-2\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x\ge 1 \\ {} x\le -2 \\ \end{array} \right.$
Gọi $y=f\left( x \right)=\left( {{x}^{2}}+x-2 \right).g\left( x \right)\left( C \right)$ thì đồ thị hàm số $y=\left| {{x}^{2}}+x-2 \right|.g\left( x \right)$ gồm 2 phần.
Phần 1: Là phần của $\left( C \right)$ ứng với miền $\left[ \begin{array} {} x\ge 1 \\ {} x\le -2 \\ \end{array} \right.$
Phần 2: Lấy đối xứng phần $\left( C \right)$ ứng với miền $-2<x<1$ qua trục hoành.
Dựa vào đồ thị hàm số suy ra phương trình $\left| {{x}^{2}}+x-2 \right|.g\left( x \right)=m$ có 3 nghiệm phân biệt khi $-4<m<0$.
Kết hợp $m\in \mathbb{Z}$ $\Rightarrow m=\left\{ -3;-2;-1 \right\}\Rightarrow $ tổng các phần tử của $S$ là $-6$. Chọn C.
Bài tập 10: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ.
Số nghiệm của phương trình $\left| f\left( x-1 \right) \right|=2$ là A. 4 B. 5 C. 2 D. 3 |
Lời giải chi tiết
Ta có đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ có dạng như hình sau:
Đồ thị hàm số $y=f\left( x-1 \right)\left( C \right)$ là đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ khi dịch sang phải 1 đơn vị (xem hình 1).
Đồ thị hàm số $y=\left| f\left( x-1 \right) \right|$ là gồm 2 phần (xem hình 2)
Phần 1: Là phần của $\left( C \right)$ nằm trên trục hoành
Phần 2: Lấy đối xứng phần nằm dưới trục hoành của $\left( C \right)$ qua $Ox$.
Dựa vào đồ thị hàm số $y=\left| f\left( x-1 \right) \right|$ suy ra phương trình $\left| f\left( x-1 \right) \right|=2$ có 5 nghiệm. Chọn B.
Bài tập 11: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ.
Phương trình $\left| f\left( x+1 \right) \right|=m$ có nhiều nghiệm nhất khi: A. $m=\frac{7}{2}$ B. $1<m<\frac{7}{2}$ C. $m=1$ D. $0<m<1$ |
Lời giải chi tiết
Đồ thị hàm số $y=f\left( x+1 \right)\left( C \right)$ là đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ khi dịch sang trái 1 đơn vị (xem hình 1)
Đồ thị hàm số $y=\left| f\left( x+1 \right) \right|$ gồm 2 phần (xem hình 2)
Phần 1: Là phần của $\left( C \right)$ nằm trên trục hoành
Phần 2: Lấy đối xứng phần nằm dưới trục hoành của $\left( C \right)$ qua $Ox$.
Dựa vào đồ thị hàm số $y=\left| f\left( x+1 \right) \right|$ suy ra phương trình $\left| f\left( x+1 \right) \right|=m$ có nhiều nghiệm nhất là 6 nghiệm khi $0<m<1$. Chọn D.
Bài tập 12: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình $f\left( \left| x \right|-1 \right)=m$ có 4 nghiệm phân biệt A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 |
Lời giải chi tiết
Đồ thị hàm số $y=f\left( x-1 \right)\left( C \right)$ là đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ khi dịch sang phải 1 đơn vị (hình 1)
Đồ thị hàm số $y=f\left( \left| x \right|-1 \right)$ gồm 2 phần:
Phần 1: Là phần của $\left( C \right)$ nằm bên phải trục tung.
Phần 2: Hàm số $y=f\left( \left| x \right|-1 \right)$ là hàm chẵn, ta lấy đối xứng phần 1 qua trục tung (hình 2).
Dựa vào hình 2 suy ra phương trình $f\left( \left| x \right|-1 \right)=m$ có 4 nghiệm phân biệt khi $-1<m<3$
Với $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=\left\{ 0;1;2 \right\}$. Chọn A.
TOÁN LỚP 12