Tìm điều kiện để hàm số bậc ba có cực trị hoặc không có cực trị

Tìm điều kiện để hàm số bậc ba có cực trị hoặc không có cực trị

Phương pháp giải bài toán tìm điều kiện để hàm số có hoặc không có cực trị (bậc 3)

Hàm số có hai điểm cực trị (có cực đại cực tiểu) khi $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta {{'}_{y'}}>0.$

Hàm số không có cực trị khi $y'=0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép $\Leftrightarrow \Delta {{'}_{y'}}\le 0.$.

Bài tập tìm điều kiện để hàm số có/không có cực trị có đáp án

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-6mx+12=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+4=0\text{ }\left( * \right).$

Để hàm số không có cực trị thì $\Delta {{'}_{\left( * \right)}}={{m}^{2}}-2\le 0\Leftrightarrow -2\le m\le 2.$

Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow$ có 5 giá trị của $m$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'={{x}^{2}}+2mx-\left( 1-2m \right).$

Để hàm số có cực đại và cực tiểu $\Leftrightarrow \Delta {{'}_{y'}}={{m}^{2}}+\left( 1-2m \right)={{m}^{2}}-2m+1={{\left( m-1 \right)}^{2}}>0\Leftrightarrow m\ne 1.$

Kết hợp $\left\{ \begin{matrix}   m\in \left[ -10;10 \right]  \\   m\in \mathbb{Z}\text{           }  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow$ có 20 giá trị của $m.$ Chọn A.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-6x+3\left( 1-{{m}^{2}} \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x+1-{{m}^{2}}=0\text{ (1)}\text{.}$

Để hàm số có 2 điểm cực trị $\Leftrightarrow \Delta {{'}_{y'}}=1-\left( 1-{{m}^{2}} \right)={{m}^{2}}>0\Leftrightarrow m\ne 0.$ Chọn C.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=-3{{x}^{2}}+2\left( 2m-1 \right)x+m-2.$ Để hàm số có cực trị thì $y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \Delta {{'}_{y'}}={{\left( 2m-1 \right)}^{2}}+3\left( m-2 \right)>0\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-m-5>0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m>\frac{5}{4}\text{ }  \\   m<-1  \\\end{matrix}. \right.$

Kết hợp $\left\{ \begin{matrix}   m\in \left[ -20;20 \right]  \\   m\in \mathbb{Z}\text{           }  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow$ có 38 giá trị của tham số $m.$ Chọn C.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-6x+m.$ Hàm số đã cho có cực trị $\Leftrightarrow y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \Delta {{'}_{y'}}=9-3m>0\Leftrightarrow m<3$

Kết hợp $m\in \mathbb{Z}*\Rightarrow m=\left\{ 1;2 \right\}.$ Chọn C.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=3{{x}^{2}}+4mx+m.$ Hàm số đã cho có cực trị $\Leftrightarrow y'=3{{x}^{2}}+4mx+m$ có 2 nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \Delta '=4{{m}^{2}}-3m>0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m>\frac{3}{4}  \\   m<0  \\\end{matrix} \right.$. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=-6{{x}^{2}}+2\left( 2m-1 \right)x-\left( {{m}^{2}}-1 \right).$

Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị khi $\Delta '={{\left( 2m-1 \right)}^{2}}-6\left( {{m}^{2}}-1 \right)>0\Leftrightarrow -2{{m}^{2}}-4m+7>0$ (xét $m\in \mathbb{Z}$) $\Leftrightarrow \frac{-2-3\sqrt{2}}{2}\le m\le \frac{-2+3\sqrt{3}}{2}\Rightarrow -3,1<m<1,12\Rightarrow m=-3;-2;-1;0;1.$ Chọn B.

Lời giải chi tiết

Với $m=1$ ta có $y=4x-1$ hàm số đã cho không có cực trị.

Với $m\ne 1$ ta có: $y'=\left( m-1 \right){{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x+4$

Để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại ${{x}_{1}}$, đạt cực đại tại ${{x}_{2}}$đồng thời

${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   a=m-1<0\text{                                }  \\   \Delta {{'}_{y'}}=y'={{\left( m-1 \right)}^{2}}-4\left( m-1 \right)>0  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   m<1\text{                   }  \\   \left( m-1 \right)\left( m-5 \right)>0  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m<1.$ Chọn A.

Lời giải chi tiết

Với $m=0\Rightarrow y=-{{x}^{2}}+3x+1$ không thỏa mãn có 2 điểm cực trị.

Với $m\ne 0$. Ta có: $y'=m{{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+3\left( m+1 \right).$ Để hàm số đạt cực đại tại ${{x}_{1}}$ và cực tiểu tại ${{x}_{2}}$sao cho ${{x}_{1}}>{{x}_{2}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   a=\frac{m}{3}<0\text{                                                           }  \\   \Delta {{'}_{y'}}={{\left( m+1 \right)}^{2}}-3m\left( m+1 \right)=\left( m+1 \right)\left( 1-2m \right)>0  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow -1<m<0.$ Chọn A.