Cho hypebol (H):4x^2 - y^2 = 4. Tìm điểm M in (H) sao cho: M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc 120^0.
Câu hỏi
Nhận biếtCho hypebol \((H):4{x^2} - {y^2} = 4\). Tìm điểm \(M \in (H)\) sao cho: M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc \({120^0}\).
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
\((H):4{x^2} - {y^2} = 4 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{1} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\\c = \sqrt 5 \end{array} \right.\)
\(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( H \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M{F_1} = \left| {a + \frac{c}{a}{x_0}} \right| = \left| {1 + \sqrt 5 {x_0}} \right|\\M{F_2} = \left| {a - \frac{c}{a}{x_0}} \right| = \left| {1 - \sqrt 5 {x_0}} \right|\end{array} \right.\)
Áp dụng công thức Côsin cho tam giác \(M{F_1}{F_2}\): \({F_1}{F_2}^2 = M{F_1}^2 + M{F_2}^2 - 2.M{F_1}.M{F_2}.\cos \widehat {{F_1}M{F_2}}\)
\( \Leftrightarrow {F_1}{F_2}^2 = {\left( {M{F_1} - M{F_2}} \right)^2} + 2M{F_1}.M{F_2} - 2.M{F_1}.M{F_2}.\cos {120^0}\) \( \Leftrightarrow {\left( {2c} \right)^2} = {\left( {2a} \right)^2} + 3M{F_1}.M{F_2}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {2.\sqrt 5 } \right)^2} = {\left( {2.1} \right)^2} + \left| {1 + \sqrt 5 {x_0}} \right|.\left| {1 - \sqrt 5 {x_0}} \right| \Leftrightarrow \left| {1 - 5{x_0}^2} \right| = 16\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - 5{x_0}^2 = 16\\1 - 5{x_0}^2 = - 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0}^2 = - 3\\{x_0}^2 = \frac{{17}}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow {x_0}^2 = \frac{{17}}{5}\)
\((H):4{x^2} - {y^2} = 4 \Rightarrow 4{x_0}^2 - {y_0}^2 = 4 \Leftrightarrow 4.\frac{{17}}{5} - {y_0}^2 = 4 \Leftrightarrow {y_0}^2 = \frac{{48}}{5}\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0}^2 = \frac{{17}}{5}\\{y_0}^2 = \frac{{48}}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = \pm \sqrt {\frac{{17}}{5}} \\{y_0} = \pm \sqrt {\frac{{48}}{5}} \end{array} \right.\)
Vậy, \({M_1}\left( {\sqrt {\frac{{17}}{5}} ;\sqrt {\frac{{48}}{5}} } \right);{M_2}\left( { - \sqrt {\frac{{17}}{5}} ;\sqrt {\frac{{48}}{5}} } \right);{M_3}\left( {\sqrt {\frac{{17}}{5}} ; - \sqrt {\frac{{48}}{5}} } \right);{M_4}\left( { - \sqrt {\frac{{17}}{5}} ; - \sqrt {\frac{{48}}{5}} } \right)\).
Chọn: B