Cho elip (E):x^29 + y^24 = 1 và hai điểm A( 3; - 2 )B( - 3;2 ). Tìm trên (E) điểm C có tọa độ dương
Câu hỏi
Nhận biếtCho elip \((E):\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\) và hai điểm \(A\left( {3; - 2} \right),\,\,B\left( { - 3;2} \right)\). Tìm trên \((E)\) điểm C có tọa độ dương sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất.
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Phương trình đường thẳng AB là: \(\frac{{x - 3}}{{ - 3 - 3}} = \frac{{y + 2}}{{2 + 2}} \Leftrightarrow 4x - 12 = - 6y - 12 \Leftrightarrow 2x + 3y = 0\)
\(AB = \sqrt {{{\left( { - 3 - 3} \right)}^2} + {{\left( {2 + 2} \right)}^2}} = \sqrt {52} \)
Gọi \(C({x_0};{y_0}),\,\,({x_0},\,{y_0} > 0)\). Do \(C \in (E) \Rightarrow \frac{{x_0^2}}{9} + \frac{{y_0^2}}{4} = 1\). Khi đó:
\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.d\left( {C;AB} \right) = \frac{1}{2}.\sqrt {52} .\frac{{\left| {2{x_0} + 3{y_0}} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2}} }} = 2{x_0} + 3{y_0}\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Mặt khác, theo Bất đằng thức Bunhicopski:
\(2 = \left( {{1^2} + {1^2}} \right).\left( {\frac{{x_0^2}}{9} + \frac{{y_0^2}}{4}} \right) \ge {\left( {\frac{{{x_0}}}{3} + \frac{{{y_0}}}{2}} \right)^2} \Rightarrow \frac{{x_0^{}}}{3} + \frac{{y_0^{}}}{2} \le \sqrt 2 \Leftrightarrow 2{x_0} + 3{y_0} \le 6\sqrt 2 \,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra : \({S_{ABC}} \le 6\sqrt 2 \)
Dấu “=” xảy ra khi : \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{x_0^2}}{9} + \frac{{y_0^2}}{4} = 1\\\frac{{{x_0}}}{3} = \frac{{{y_0}}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\\{y_0} = \sqrt 2 \end{array} \right. \Rightarrow \) \(C\left( {\frac{{3\sqrt 2 }}{2};\sqrt 2 } \right)\)
Chọn: C