Cho elip (E):x^2 4 + y^2 = 1 và điểm C(2;0). Tìm tọa độ các điểm AB trên (E) sao cho ABC là tam giá
Câu hỏi
Nhận biếtCho elip \((E):{{{x^2}} \over 4} + {y^2} = 1\) và điểm \(C(2;0)\). Tìm tọa độ các điểm \(A,\,\,B\) trên (E) sao cho \(ABC\) là tam giác đều, biết rằng A và B đối xứng nhau qua Ox.
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Giả sử \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\). Do A, B đối xứng nhau qua Ox nên \(B({x_0}; - {y_0})\).
Ta có: \(A{B^2} = 4{y_0}^2,\,\,\,A{C^2} = {({x_0} - 2)^2} + {y_0}^2\)
Vì \(A \in \left( E \right) \Rightarrow {{{x_0}^2} \over 4} + {y_0}^2 = 1 \Rightarrow {y_0}^2 = 1 - {{{x_0}^2} \over 4}\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Vì \(AB = AC \Rightarrow {({x_0} - 2)^2} + {y_0}^2 = 4{y_0}^2\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Thay (1) vào (2) và rút gọn ta được :
\(7{x_0}^2 - 16{x_0} + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {x_0} = 2 \hfill \cr {x_0} = {2 \over 7} \hfill \cr} \right.\)
Với \({x_0} = 2 \Rightarrow {y_0} = 0\,\,(L)\) vì trùng với điểm C.
Với \({x_0} = {2 \over 7} \Rightarrow {y_0} = \pm {{4\sqrt 3 } \over 7}\).
Vậy, \(A\left( {{2 \over 7};{{4\sqrt 3 } \over 7}} \right),\,\,B\left( {{2 \over 7}; - {{4\sqrt 3 } \over 7}} \right)\) hoặc \(A\left( {{2 \over 7}; - {{4\sqrt 3 } \over 7}} \right),\,\,B\left( {{2 \over 7};{{4\sqrt 3 } \over 7}} \right)\).
Chọn: C.