Cho abc > 0;a + b + c = 3. Giá trị lớn nhất của biểu thức S = căn 3a + b + căn 3b + c + căn
Câu hỏi
Nhận biếtCho \(a,\,b,\,c > 0;\,a + b + c = 3\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(S = \sqrt {3a + b} + \sqrt {3b + c} + \sqrt {3c + a} \) là:
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
\(\sqrt {3a + b} = {1 \over 2}.\sqrt {\left( {3a + b} \right).4} \le {1 \over 2}.{{\left( {3a + b} \right) + 4} \over 2} = {1 \over 4}.(3a + b + 4)\)
Tương tự: \(\sqrt {3b + c} \le {1 \over 4}.(3b + c + 4)\) và \(\sqrt {3c + a} \le {1 \over 4}.(3c + a + 4)\)
\( \Rightarrow S = \sqrt {3a + b} + \sqrt {3b + c} + \sqrt {3c + a} \le {1 \over 4}\left[ {4\left( {a + b + c} \right) + 12} \right]\)
Vì a + b + c = 3 nên ta có \(S \le 6\)
\(\,Max\,S = 6 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 3a + b = 4 \cr 3b + c = 4 \hfill \cr 3c + a = 4 \cr a + b + c = 3 \cr} \right. \Leftrightarrow a = b = c = 1\)
Chọn C.