Cho a^2 + b^2 + c^2 = 1. Xác định tính đúng sai của các mệnh đề sau: I. ab + bc + ca ge 0
Câu hỏi
Nhận biếtCho \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\). Xác định tính đúng sai của các mệnh đề sau:
I. \(ab + bc + ca \ge 0\) II. \(ab + bc + ca \ge - {1 \over 2}\) III. \(ab + bc + ca < 1\) IV. \(ab + bc + ca \le 1\)
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Xuất phát từ bất đẳng thức luôn đúng \({\left( {a + b + c} \right)^2} \ge 0\). Biến đổi tương đương ta có:
\({a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ca \ge 0 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right) \ge 0\)
Theo giả thiết \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\) suy ra ta có \(1 + 2\left( {ab + bc + ca} \right) \ge 0 \Leftrightarrow ab + bc + ca \ge - {1 \over 2}\).
Suy ra II đúng.
Xuất phát từ các bất đẳng thức đúng
\(\eqalign{ & {\left( {a - b} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {a^2} + {b^2} \ge 2ab \cr & {\left( {b - c} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {b^2} + {c^2} \ge 2bc \cr & {\left( {c - a} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {c^2} + {a^2} \ge 2ca \cr} \)
Cộng vế vế với các bất đẳng thức ta có: \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca\)
Theo giả thiết \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\) suy ra ta có \(1 \ge ab + bc + ca\).
Suy ra IV đúng.
Chọn B.