Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có hình chiếu của C trên đường thẳng AB là H(- 1;- 1) đư
Câu hỏi
Nhận biếtTrong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có hình chiếu của C trên đường thẳng AB là H(- 1;- 1), đường thẳng chứa phân giác của góc A có phương trình x – y + 2 = 0 và đường cao kẻ từ B có phương trình 4x + 3y – 1 = 0. Tìm tọa độ điểm C.
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Gọi K là điểm đối xứng với H qua đường phân giác AD: x – y + 2 = 0 đường thẳng HK có phương trình x + y + 2 = 0. Tọa độ giao điểm của HK với d là nghiệm của hệ:\(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 2 = 0\\x + y + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow M\left( { - 2;0} \right)\) là trung điểm của HK
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_K} = 2{x_M} - {x_H} = - 4 + 1 = - 3\\{y_K} = 2{y_M} - {y_H} = 0 + 1 = 1\end{array} \right. \Rightarrow K\left( { - 3;1} \right)\)
Đường thẳng \(AC \bot BE:4x + 3y - 1 = 0\) và đi qua K nên AC có phương trình \(3\left( {x + 3} \right) - 4\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x - 4y + 13 = 0\)
Đỉnh \(A = AC \cap AD \Rightarrow \) Tọa độ của A là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 2 = 0\\3x - 4y + 13 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 7\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {5;7} \right)\)
Đường thẳng CH đi qua H(- 1; - 1) và có vector pháp tuyến \(\frac{1}{2}\overrightarrow {AH} = \frac{1}{2}\left( {6;8} \right) = \left( {3;4} \right)\), do đó có phương trình \(3\left( {x + 1} \right) + 4\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y + 7 = 0\)
Đỉnh \(C = CH \cap AC \Rightarrow \) Tọa độ của C là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y + 7 = 0\\3x - 4y + 13 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{{10}}{3}\\y = \frac{3}{4}\end{array} \right. \Rightarrow C\left( { - \frac{{10}}{3};\frac{3}{4}} \right)\)
Chọn D.