Cho hình chữ nhật ABCD có trung điểm AB là M( 4;6 ). Giao điểm I của hai đường chéo nằm trên đường t
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình chữ nhật ABCD có trung điểm AB là \(M\left( {4;6} \right)\). Giao điểm I của hai đường chéo nằm trên đường thẳng \(d:3x - 5y + 6 = 0\), điểm \(N\left( {6;2} \right)\) thuộc cạnh CD. Viết phương trình cạnh CD biết tung độ I lớn hơn 4.
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Gọi \(I\left( {t;\frac{{3t + 6}}{5}} \right) \in d\), (ĐK: \(\frac{{3t + 6}}{5} > 4 \Leftrightarrow t > \frac{{14}}{3}\)).
P là điểm đối xứng với M qua I ta có
\(P\left( {2{x_I} - {x_M};2{y_I} - {y_M}} \right) = \left( {2t - 4;\frac{{6t + 12}}{5} - 6} \right) = \left( {2t - 4;\frac{{6t - 18}}{5}} \right)\)
Vì M là trung điểm của AB nên \(MP \bot NP \Rightarrow \overrightarrow {MP} .\overrightarrow {NP} = 0\)
Ta có
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MP} = \left( {2t - 8;\frac{{6t - 48}}{5}} \right),\overrightarrow {NP} = \left( {2t - 10;\frac{{6t - 28}}{5}} \right) \Rightarrow \left( {2t - 8} \right)\left( {2t - 10} \right) + \frac{{6t - 48}}{5}.\frac{{6t - 28}}{5} = 0\\ \Leftrightarrow 100{t^2} - 900t + 2000 + 36{t^2} - 456t + 1344 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{11}}{2}\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = \frac{{76}}{{17}}\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Với \(t = \frac{{11}}{2} \Rightarrow I\left( {\frac{{11}}{2};\frac{9}{2}} \right)\,\,\left( {tm} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MI} = \left( {\frac{3}{2}; - \frac{3}{2}} \right) \Rightarrow \) CD đi qua N và nhận \(\overrightarrow n \left( {1; - 1} \right)\) là 1 VTPT \(\Rightarrow pt\left( {CD} \right)\) :
\(1\left( {x - 6} \right) - 1\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y - 4 = 0\).
Chọn D.