Trong mặt phẳng Oxy cho ba đường thẳng d1:3x - y - 4 = 0;d2:x + y - 6 = 0 và d3:x - 3 = 0. Tìm tọa đ
Câu hỏi
Nhận biếtTrong mặt phẳng Oxy cho ba đường thẳng \({d_1}:3x - y - 4 = 0;{d_2}:x + y - 6 = 0\) và \({d_3}:x - 3 = 0\). Tìm tọa độ đỉnh C của hình thoi ABCD biết rằng góc \(\widehat {BAD} = {120^0}\) ; các điểm A, C thuộc \({d_3}\), B thuộc \({d_1}\) và D thuộc \({d_2}\).
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Gọi \(B\left( {b;3b - 4} \right),D\left( {d; - d + 6} \right)\)
Gọi I là trung điểm của BD \( \Rightarrow I\left( {\frac{{b + d}}{2};\frac{{3b - d + 2}}{2}} \right)\).
Vì ABCD là hình thoi nên I cũng là trung điểm của AC \( \Rightarrow I \in {d_3} \Rightarrow \frac{{b + d}}{2} = 3 \Leftrightarrow b + d = 6\,\,\,\left( 1 \right)\)
\(\overrightarrow {BD} = \left( {d - b; - d - 3b + 10} \right);{\overrightarrow u _{AC}}\left( {0;1} \right),\overrightarrow {BD} .{\overrightarrow u _{AC}} = 0 \Leftrightarrow - d - 3b + 10 = 0\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2\\d = 4\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {2;2} \right);D\left( {4;2} \right) \Leftrightarrow I\left( {3;2} \right)\)
Gọi \(A\left( {3;a} \right),C\left( {3;c} \right)\,\,\,\left( {a \ne c} \right)\), I là trung điểm của AC nên \(a + c = 4 \Rightarrow a = 4 - c\)
ABCD là hình thoi có \(\widehat {BAD} = {120^0} \Rightarrow \widehat {ABC} = {60^0} \Rightarrow \Delta ABC\) đều \( \Rightarrow AB = AC \Rightarrow A{B^2} = A{C^2}\)
\(\begin{array}{l}A{B^2} = {\left( { - 1} \right)^2} + {\left( {2 - a} \right)^2},A{C^2} = {\left( {c - a} \right)^2}\\\Rightarrow {\left( { - 1} \right)^2} + {\left( {2 - a} \right)^2} = {\left( {c - a} \right)^2} \Leftrightarrow {a^2} - 4a + 5 = {a^2} - 2ac + {c^2} \Leftrightarrow - 4a + 5 = - 2ac + {c^2}\\ \Leftrightarrow - 4\left( {4 - c} \right) + 5 = - 2\left( {4 - c} \right)c + {c^2}\\ \Leftrightarrow - 16 + 4c + 5 = - 8c + 2{c^2} + {c^2}\\ \Leftrightarrow 3{c^2} - 12c + 11 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = \frac{{6 - \sqrt 3 }}{3}\\c = \frac{{6 + \sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\end{array}\)
Chọn C.