Tổng bình phương các nghiệm của phương trình d2 căn x + 1 + căn 3 - x = 1 + căn 3 + 2 x - x^2
Câu hỏi
Nhận biếtTổng bình phương các nghiệm của phương trình \(\dfrac{2}{{\sqrt {x + 1} + \sqrt {3 - x} }} = 1 + \sqrt {3 + 2{\rm{x}} - {x^2}} \) là:
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ge 0\\3 - x \ge 0\\\sqrt {x + 1} + \sqrt {3 - x} \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\x \le 3\end{array} \right. \Leftrightarrow - 1 \le x \le 3\)
Đặt: \(\sqrt {x + 1} + \sqrt {3 - x} = t(t > 0)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow x + 1 + 3 - x + 2\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {3 - x} \right)} = {t^2}\\ \Leftrightarrow \sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {3 - x} \right)} = \dfrac{{{t^2} - 4}}{2}\end{array}\)
Khi đó, phương trình trở thành: \(\dfrac{2}{t} = 1 + \dfrac{{{t^2} - 4}}{2} \Leftrightarrow \dfrac{2}{t} = \dfrac{{{t^2} - 2}}{2}\)\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {t^3} - 2t - 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t - 2} \right)\left( {{t^2} + 2t + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow t = 2\end{array}\)
+) Với t = 2 \( \Leftrightarrow \sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {3 - x} \right)} = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {3 - x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 3\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)
Tổng bình phương các nghiệm là 10.
Chọn C