Tập nghiệm của phương trình căn x+5-4 căn x+1+ căn x+2-2 căn x+1=1 là:
Câu hỏi
Nhận biếtTập nghiệm của phương trình\(\sqrt{x+5-4\sqrt{x+1}}+\sqrt{x+2-2\sqrt{x+1}}=1\) là:
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Điều kiện: \(x+1\ge 0\Leftrightarrow x\ge -1\)
Ta có:
\(\begin{align} & x+5-4\sqrt{x+1}=x+1-4\sqrt{x+1}+4={{\left( \sqrt{x+1}-2 \right)}^{2}} \\ & x+2-2\sqrt{x+1}=x+1-2\sqrt{x+1}+1={{\left( \sqrt{x+1}-1 \right)}^{2}} \\\end{align}\)
Phương trình:
\(\begin{align} & \sqrt{x+5-4\sqrt{x+1}}+\sqrt{x+2-2\sqrt{x+1}}=1\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( \sqrt{x+1}-2 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( \sqrt{x+1}-1 \right)}^{2}}}=1 \\ & \Leftrightarrow \left| \sqrt{x+1}-2 \right|+\left| \sqrt{x+1}-1 \right|=1\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\\end{align}\)
+) Trường hợp 1: Nếu \(\sqrt{x+1}\ge 2\Leftrightarrow x+1\ge 4\Leftrightarrow x\ge 3\) thì: \(\left\{ \begin{align} & \left| \sqrt{x+1}-2 \right|=\sqrt{x+1}-2 \\ & \left| \sqrt{x+1}-1 \right|=\sqrt{x+1}-1 \\\end{align} \right.\)
\(\left( 1 \right)\,\,\Leftrightarrow \sqrt{x+1}-2+\sqrt{x+1}-1=1\Leftrightarrow \sqrt{x+1}=2\Leftrightarrow x+1=4\Leftrightarrow x=3\,\,\,\left( tm \right)\)
+) Trường hợp 2: Nếu \(\sqrt{x+1}\le 1\Leftrightarrow x+1\le 1\Leftrightarrow x\le 0\) thì: \(\left\{ \begin{align} & \left| \sqrt{x+1}-2 \right|=2-\sqrt{x+1} \\ & \left| \sqrt{x+1}-1 \right|=1-\sqrt{x+1} \\\end{align} \right.\)
\(\left( 1 \right)\Leftrightarrow 2-\sqrt{x+1}+1-\sqrt{x+1}=1\Leftrightarrow \sqrt{x+1}=1\Leftrightarrow x+1=1\Leftrightarrow x=0\,\,\,\left( tm \right)\)
+) Trường hợp 3: Nếu \(1<\sqrt{x+1}<2\Leftrightarrow 1 \((1)\Leftrightarrow 2-\sqrt{x+1}+\sqrt{x+1}-1=1\) \(\Leftrightarrow 1=1\) (luôn đúng với \(\forall x \in \)(0; 3) ) Vậy tập nghiệm của phương trình là [0; 3] Chọn B.