Cho (P): y = x^2 + 2x - 3 và d:y = m( x - 4 ) - 2. Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A( x1y
Câu hỏi
Nhận biếtCho (P): \(y = {x^2} + 2x - 3\) và \(d:y = m\left( {x - 4} \right) - 2.\)
Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt \(A\left( {{x_1},{y_1}} \right),B\left( {{x_2},{y_2}} \right)\) sao cho biểu thức \(P = 2\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + 9{x_1}{x_2} + 2014\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Xét phương trình hoành độ giao điểm \({x^2} + 2x - 3 = m\left( {x - 4} \right) - 2 \Leftrightarrow {x^2} + \left( {2 - m} \right)x + 4m - 1 = 0\,\,\left( * \right)\)
Để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt ta xét phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \ne 0\\{\left( {2 - m} \right)^2} - 4\left( {4m - 1} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {m^2} - 20m + 8 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 10 + 2\sqrt {23} \\m < 10 - 2\sqrt {23} \end{array} \right.\)
Gọi là 2 nghiệm của phương trình (*).
Khi đó áp dụng hệ thức Vi-et ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = m - 2\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{8}{1} = 4m - 1\end{array} \right.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}P = 2\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + 9{x_1}{x_2} + 2014\\ = 2\left( {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right) + 9{x_1}{x_2} + 2014\\ = 2\left( {{{\left( {m - 2} \right)}^2} - 2\left( {4m - 1} \right)} \right) + 9\left( {4m - 1} \right) + 2014\\ = 2\left( {{m^2} - 4m + 4 - 8m + 2} \right) + 36m - 9 + 2014\\ = 2{m^2} + 12m + 2017 = f\left( m \right)\end{array}\)
Lập BBT:
Ta thấy hàm số f(m) đạt GTNN tại \( m = 10 - 2\sqrt {23} \), tức là P có GTNN.
Vậy với\(\left[ \begin{array}{l}m > 10 + 2\sqrt {23} \\m < 10 - 2\sqrt {23} \end{array} \right.\)thì P có GTNN.
Chọn A