Chứng minh rằng đường thẳng (d): y=1-x cắt parabol (P): y=x^2 tại 2 điểm phân biệt nằm về 2 ph
Câu hỏi
Nhận biếtChứng minh rằng đường thẳng \( (d): \, y=1-x \) cắt parabol \((P): \, y=x^2\) tại 2 điểm phân biệt nằm về 2 phía của trục tung. Gọi \(x_1\) là hoành độ của giao điểm nằm bên trái trục tung. Hãy tính giá trị của biểu thức \(P = \sqrt {x_1^8 + 10{x_1} + 13} + {x_1}.\)
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Xét phương trình hoành độ giao điểm: \(x^2+x-1=0\)
Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt nằm về 2 phía trục tung khi và chỉ khi phương trình hoành độ giao điểm có 2 nghiệm trái dấu.
Ta có: \(a = 1\,\,,\,\,b = 1\,\,,\,\,c = - 1 \Rightarrow ac = 1.\left( { - 1} \right) = - 1 < 0\)
Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu hay đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm nằm về 2 phía của trục tung.
Ta có: \(\Delta = 1 + 4 = 5 > 0\)
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt trong đó nghiệm âm là
\({x_1} = {{ - 1 - \sqrt 5 } \over 2} \Rightarrow x_1^2 = {{3 + \sqrt 5 } \over 2} \Rightarrow x_1^4 = {{7 + 3\sqrt 5 } \over 2} \Rightarrow x_1^8 = {{47 + 21\sqrt 5 } \over 2}\)
Khi đó ta có:
\( \eqalign{ & P = \sqrt {x_1^8 + 10{x_1} + 13} + {x_1} \cr & = \sqrt {{{47 + 21\sqrt 5 } \over 2} + 10.{{ - 1 - \sqrt 5 } \over 2} + 13} + {{ - 1 - \sqrt 5 } \over 2} = \sqrt {{{94 + 42\sqrt 5 } \over 4} + 5\left( { - 1 - \sqrt 5 } \right) + 13} + {{ - 1 - \sqrt 5 } \over 2} \cr & = \sqrt {{{126 + 22\sqrt 5 } \over 4}} + {{ - 1 - \sqrt 5 } \over 2} = \sqrt {{{121 + 2.11.\sqrt 5 + 5} \over 4}} + {{ - 1 - \sqrt 5 } \over 2} = \sqrt {{{\left( {{{11 + \sqrt 5 } \over 2}} \right)}^2}} + {{ - 1 - \sqrt 5 } \over 2} = {{11 + \sqrt 5 - 1 - \sqrt 5 } \over 2} = 5 \cr} \)
Chọn B.
