Cho A = ( x - y căn x - căn y + căn x^3 - căn y^3 y - x ):( căn x - căn y )^2 +
Câu hỏi
Nhận biếtCho \( A = \left( {{{x - y} \over {\sqrt x - \sqrt y }} + {{\sqrt {{x^3}} - \sqrt {{y^3}} } \over {y - x}}} \right):{{{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}^2} + \sqrt {xy} } \over {\sqrt x + \sqrt y }}\) Với \( x \ge 0, \, y \ge 0,x \ne y.\)
a) Rút gọn \(A.\)
b) Chứng minh rằng \(A \geq 0.\)
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
a) Với \(x \ge 0,y \ge 0,x \ne y\). Ta có:
\(\begin{array}{l}A = \left( {\frac{{x - y}}{{\sqrt x - \sqrt y }} + \frac{{\sqrt {{x^3}} - \sqrt {{y^3}} }}{{y - x}}} \right):\frac{{{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}^2} + \sqrt {xy} }}{{\sqrt x + \sqrt y }}\\ = \left( {\frac{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}}{{\sqrt x - \sqrt y }} - \frac{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {x + \sqrt {xy} + y} \right)}}{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}}} \right):\frac{{{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}^2} + \sqrt {xy} }}{{\sqrt x + \sqrt y }}\\ = \left( {\sqrt x + \sqrt y - \frac{{x + \sqrt {xy} + y}}{{\sqrt x + \sqrt y }}} \right):\frac{{x - \sqrt {xy} + y}}{{\sqrt x + \sqrt y }}\\ = \frac{{{{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}^2} - x - \sqrt {xy} - y}}{{\sqrt x + \sqrt y }}.\frac{{\sqrt x + \sqrt y }}{{x - \sqrt {xy} + y}}\\ = \frac{{\sqrt {xy} }}{{x - \sqrt {xy} + y}}\end{array}\)
b) Ta có: \(x \ge 0,y \ge 0,x \ne y\) thì \(\sqrt {xy} \ge 0;x - \sqrt {xy} + y = {\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)^2} + \sqrt {xy} \ge 0\) .
Vậy \(A \ge 0\) với \(x \ge 0,y \ge 0,x \ne y\).
