Cho n là số nguyên dương thỏa mãn căn 12n^2 + 1 là số nguyên. Chứng
Câu hỏi
Nhận biếtCho \(n\) là số nguyên dương thỏa mãn \(\sqrt {12{n^2} + 1} \) là số nguyên. Chứng minh rằng: \(2\sqrt {12{n^2} + 1} + 2\) là số chính phương
Đáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Vì \(12{n^2} + 1\) là số lẻ với mọi \(n\) nên để \(\sqrt {12{n^2} + 1} \) là số nguyên thì \(12{n^2} + 1 = {\left( {2m + 1} \right)^2},m \in \mathbb{N}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 12{n^2} + 1 = 4{m^2} + 4m + 1\\ \Leftrightarrow m\left( {m + 1} \right) = 3{n^2}\end{array}\)
Vì \(\left( {m;m + 1} \right) = 1\) nên xảy ra hai trường hợp: \(\left[ \begin{array}{l}m = 3{u^2};m + 1 = {v^2}\\m = {v^2};m + 1 = 3{u^2}\end{array} \right.,u,v \in \mathbb{N}*\).
+) Nếu \(\left\{ \begin{array}{l}m = {v^2}\\m + 1 = 3{u^2}\end{array} \right.\) thì \({v^2} = 3{u^2} - 1\) hay \({v^2}\) là số chính phương chia \(3\) dư 2.
Điều này không xảy ra vì mọi số chính phương chia \(3\) dư là 0 hoặc 1.
\( \Rightarrow \) Do đó chỉ xảy ra \(\left\{ \begin{array}{l}m = 3{u^2}\\m + 1 = {v^2}\end{array} \right..\)
Ta có: \(2\sqrt {12{n^2} + 1} + 2 = 2\left( {2m + 1} \right) + 2 = 4m + 4 = 4{v^2} = {\left( {2v} \right)^2}\) là số chính phương.
