Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ , cho hai parabol: $\left( P \right):y = {x^2}$ và $\left( Q \right):y = {x^2} + 2x + 2$. Để chứng minh có một phép tịnh tiến $T$ biến $\left( Q \right)$ thành $\left( P \right)$ , một học sinh lập luận qua ba bước như sau:
- Bước 1: Gọi vectơ tịnh tiến là $\overrightarrow u = \left( {a;b} \right)$, áp dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến:
$\left\{ \begin{array}{l}x' = x + a\\y' = y + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = x' - a\\y = y' - b\end{array} \right.$
- Bước 2: Thế vào phương trình của $\left( Q \right)$ ta được:
$y' - b = {\left( {x' - a} \right)^2} + 2\left( {x' - a} \right) + 2 \Leftrightarrow y' = x{'^2} + 2\left( {1 - a} \right)x' + {a^2} - 2a + b + 2$
Suy ra ảnh của $\left( Q \right)$ qua phép tịnh tiến $T$ là parabol $\left( R \right):y = {x^2} + 2\left( {1 - a} \right)x + {a^2} - 2a + b + 2$
- Bước 3: Buộc $\left( R \right)$ trùng với $\left( P \right)$ ta được hệ: $\left\{ \begin{array}{l}2\left( {1 - a} \right) = 0\\{a^2} - 2a + b + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 1\end{array} \right.$
Vậy có duy nhất một phép tịnh tiến biến $\left( Q \right)$ thành $\left( P \right)$ , đó là phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow u = \left( {1; - 1} \right)$
Hỏi lập luận trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai bắt đầu từ bước nào?
