Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ và tạo với đường thẳng
Câu hỏi
Nhận biếtViết phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ và tạo với đường thẳng nối tâm của hai đường tròn một góc bằng \({45^o} \).
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta có: \(\overrightarrow {{I_1}{I_2}} = \left( {3;4} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_1}} = \left( { - 4;3} \right)\) là một VTPT của đường thẳng \({I_1}{I_2}\)
Gọi \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {a;\,b} \right) \ne \overrightarrow 0 \) là VTPT của đường thẳng \(d\) cần tìm
\( \Rightarrow d:\,\,ax + by = 0.\)
Ta có: \(\cos \left( {{I_1}{I_2},d} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \cos {45^o} = \frac{{\left| { - 4a + 3b} \right|}}{{5\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)
\( \Leftrightarrow 25\left( {{a^2} + {b^2}} \right) = 2{\left( { - 4a + 3b} \right)^2} \Leftrightarrow 7{a^2} - 48ab - 7{b^2} = 0\)
Với \(b = 0 \Rightarrow a = 0\) (ktm)
Với \(b \ne 0\), chia cả hai vế cho \({b^2}\) ta được:
\(7{\left( {\frac{a}{b}} \right)^2} - 48.\frac{a}{b} - 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{a}{b} = 7 \Rightarrow \left( {a;b} \right) = \left( {7;1} \right) \Rightarrow 7x + y = 0\\\frac{a}{b} = - \frac{1}{7} \Rightarrow \left( {a;b} \right) = \left( { - 1;7} \right) \Rightarrow - x + 7y = 0\end{array} \right.\)
Vậy có hai đường thẳng d thỏa mãn bài toán: \(7x + y = 0\) và \( - x + 7y = 0.\)
Chọn D.