Cho phương trình: x^2 - 2mx - 4m - 5 = 0. a) Chứng tỏ phương trình tr
Câu hỏi
Nhận biếtCho phương trình: \({x^2} - 2mx - 4m - 5 = 0. \)
a) Chứng tỏ phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi \(m. \)
b) Tìm \(m \) để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn: \(x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2} = 2{x_1} + 2{x_2} + 27. \)
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Cho phương trình: \({x^2} - 2mx - 4m - 5 = 0.\)
a) Chứng tỏ phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
Ta cosL \(\Delta ' = {m^2} + 4m + 5 = {(m + 2)^2} + 1 > 0,\forall m\)
Do đó phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi \(m.\)
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn: \(x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2} = 2{x_1} + 2{x_2} + 27.\)
Áp dụng định lý Viet ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} = - 4m - 5\end{array} \right.\)
Theo đề bài ta có :
\(\begin{array}{l}x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2} = 2{x_1} + 2{x_2} + 27.\\ \Leftrightarrow {({x_1} + {x_2})^2} - 3{x_1}{x_2} - 2({x_1} + {x_2}) - 27 = 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} + 3(4m + 5) - 4m - 27 = 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} + 8m - 12 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 1 = 0\\m + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 3\end{array} \right..\end{array}\)
Vậy \(m = 1\,;\,\,m = - 3\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn D.
