a) Tìm m để phương trình: (m-1)x^2-2mx+m+2=0 có 2 nghiệm phân biệt
Câu hỏi
Nhận biếta) Tìm m để phương trình: \((m-1){{x}^{2}}-2mx+m+2=0 \) có 2 nghiệm phân biệt \({{x}_{1}}, \ \ {{x}_{2}} \) khác 0 và thỏa mãn hệ thức: \( \frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}+ \frac{{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}}+ \frac{5}{2}=0. \)
b) Giải phương trình: \(x \sqrt{2x-2}=9-5x. \)
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
a) Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thì:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\Delta > 0\\
m - 1 \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{m^2} - (m - 1)(m + 2) > 0\\
m \ne 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{m^2} - {m^2} - m + 2 > 0\\
m \ne 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- m + 2 > 0\\
m \ne 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < 2\\
m \ne 1
\end{array} \right..
\end{array}\)
Áp dụng định lý Viet ta có: \(\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{2m}{m-1} \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{m+2}{m-1} \\\end{align} \right..\)
Thay vào biểu thức đã cho ta được:
\(\begin{array}{l}
\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} + \frac{5}{2} = 0 \Leftrightarrow \frac{{x_1^2 + x_2^2}}{{{x_1}{x_2}}} + \frac{5}{2} = 0\\
\Leftrightarrow 2\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + 5{x_1}{x_2} = 0\\
\Leftrightarrow 2{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} + 5{x_1}{x_2} = 0\\
\Leftrightarrow 2{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + {x_1}{x_2} = 0\\
\Rightarrow 2{\left( {\frac{{2m}}{{m - 1}}} \right)^2} + \frac{{m + 2}}{{m - 1}} = 0\\
\Leftrightarrow 8{m^2} + (m - 1)(m + 2) = 0\\
\Leftrightarrow 9{m^2} + m - 2 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = \frac{{ - 1 + \sqrt {73} }}{{18}}\\
m = \frac{{ - 1 - \sqrt {73} }}{{18}}
\end{array} \right..
\end{array}\)
Vậy ta có hai giá trị m thỏa mãn điều kiện bài toán là: \(m\in \left\{ \frac{-1+\sqrt{73}}{18};\ \frac{-1-\sqrt{73}}{18} \right\}.\)
b) Điều kiện: \(x\ge 1.\)
Từ phương trình đã cho ta suy ra:
\(\begin{array}{l}
x\sqrt {2x - 2} = 9 - 5x \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
9 - 5x \ge 0\\
{x^2}(2x - 2) = {(9 - 5x)^2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \le \frac{9}{5}\\
2{x^3} - 27{x^2} + 90x - 81 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \le \frac{9}{5}\\
(x - 3)(2{x^2} - 21x + 27) = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \le \frac{9}{5}\\
(x - 3)(x - 9)(2x - 3) = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \le \frac{9}{5}\\
\left[ \begin{array}{l}
x = 3\\
x = 9\\
x = \frac{3}{2}
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}\;\;\left( {tm\;\;x \ge 1} \right).
\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x=\frac{3}{2}.\)
Chọn A
