Cho tam giác ABC cân tại A có I là giao điểm các đường phân giác. Biết rằng IA = 2 căn 5 IB = 3. Tí
Câu hỏi
Nhận biếtCho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có \(I\) là giao điểm các đường phân giác. Biết rằng \(IA = 2\sqrt 5 ,\,\,IB = 3.\) Tính \(AB.\)
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Qua \(A\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(AB\) cắt đường thẳng \(BI\) tại \(K.\)
Do tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên đường phân giác \(AI\) cũng là đường cao kẻ từ \(A.\)
Ta có: \(\widehat K + \widehat {{B_1}} = {90^0},\) \(\widehat {{I_2}} + \widehat {{B_2}} = {90^0},\) \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\) (\(BI\) là phân giác của \(\widehat B\)) và \(\widehat {{I_1}} = \widehat {{I_2}}\) (hai góc đối đỉnh).
Suy ra \(\widehat K = \widehat {{I_1}} \Rightarrow \Delta AIK\) cân tại \(A \Rightarrow AK = AI = 2\sqrt 5 \).
Kẻ \(AH \bot BK\) tại \(H,\) khi đó \(H\) là trung điểm \(IK.\)
Đặt \(x = IH = IK.\)
Xét tam giác \(ABK\) vuông tại \(A,\) có đường cao \(AH,\) ta có:
\(\begin{array}{l}A{K^2} = HK.BK\\ \Rightarrow {\left( {2\sqrt 5 } \right)^2} = x.\left( {3 + 2x} \right)\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + 3x - 20 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2x - 5} \right)\left( {x + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x = 2,5\end{array}\)
(do \(x\) là độ dài đoạn thẳng nên \(x > 0\)).
Suy ra \(BK = 2x + 3 = 8.\)
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác \(ABK\) vuông tại \(A:\)
\(\begin{array}{l}B{K^2} = A{B^2} + A{K^2} \Rightarrow {8^2} = A{B^2} + {\left( {2\sqrt 5 } \right)^2}\\ \Rightarrow A{B^2} = 44 \Rightarrow AB = 2\sqrt {11} .\end{array}\)
Vậy \(AB = 2\sqrt {11} \).
Chọn C.
