Tìm tọa độ điểm I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Câu hỏi
Nhận biếtTìm tọa độ điểm \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC.\)
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {12;\,\,9} \right)\\\overrightarrow {AC} = \left( {12;\,\, - 16} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB = 15\\AC = 20\end{array} \right..\)
Tia phân giác \(AI\) của \(\angle BAC\) cắt \(BC\) tại \(D\left( {x;y} \right).\)
Khi đó áp dụng tính chất của tia phân giác ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} \Rightarrow \overrightarrow {DB} = - \frac{{AB}}{{AC}}.\overrightarrow {DC} \\ \Leftrightarrow \left( {4 - x;\,\,12 - y} \right) = - \frac{{15}}{{20}}\left( {4 - x; - 13 - y} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 - x = - \frac{{15}}{{20}}\left( {4 - x} \right)\\12 - y = - \frac{{15}}{{20}}\left( { - 13 - y} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = \frac{9}{7}\end{array} \right. \Rightarrow D\left( {4;\,\,\frac{9}{7}} \right).\end{array}\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {BD} = \left( {0;\,\, - \frac{{75}}{7}} \right) \Rightarrow BD = \frac{{75}}{7}.\)
Gọi \(I\left( {a;\,\,b} \right).\)
Xét \(\Delta ABD\) ta có \(BD\) là phân giác của\(\angle ABD.\)
Áp dụng tính chất của tia phân giác ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{{IA}}{{ID}} = \frac{{BA}}{{BD}} \Rightarrow \overrightarrow {IA} = - \frac{{BA}}{{BD}}.\overrightarrow {ID} \\ \Leftrightarrow \left( { - 8 - a;\,\,3 - b} \right) = - \frac{{15}}{{\frac{{75}}{7}}}.\left( {4 - a;\,\,\,\frac{9}{7} - b} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 8 - a = - \frac{7}{5}\left( {4 - a} \right)\\3 - b = - \frac{7}{5}\left( {\frac{9}{7} - b} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 2\end{array} \right. \Rightarrow I\left( { - 1;\,\,2} \right).\end{array}\)
Vậy \(I\left( { - 1;2} \right).\)
Chọn C.