Cho x1x2 là hai nghiệm của phương trình x^2 - 3x + 1 = 0. Hãy lập một phương trình bậc hai một ẩn có
Câu hỏi
Nhận biếtCho \({x_1},\,\,{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - 3x + 1 = 0\). Hãy lập một phương trình bậc hai một ẩn có hai nghiệm \(2{x_1} - {\left( {{x_2}} \right)^2}\) và \(2{x_2} - {\left( {{x_1}} \right)^2}\).
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Phương trình \({x^2} - 3x + 1 = 0\) có 2 nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) (gt) nên áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3\\{x_1}{x_2} = 1\end{array} \right.\).
Xét các tổng và tích sau:
\(\begin{array}{l}S = 2{x_1} - {\left( {{x_2}} \right)^2} + 2{x_2} - {\left( {{x_1}} \right)^2} = 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - \left( {x_1^2 + x_2^2} \right)\\\,\,\,\,\, = 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - \left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right] = 2.3 - \left[ {{3^2} - 2.1} \right] = - 1\\P = \left[ {2{x_1} - {{\left( {{x_2}} \right)}^2}} \right]\left[ {2{x_2} - {{\left( {{x_1}} \right)}^2}} \right] = 4{x_1}{x_2} - 2x_1^3 - 2x_2^3 + {\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2}\\\,\,\,\,\, = 4{x_1}{x_2} - 2\left( {x_1^3 + x_2^3} \right) + {\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2}\\\,\,\,\,\, = 4{x_1}{x_2} - 2\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)} \right] + {\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2}\\\,\,\,\,\, = 4.1 - 2\left[ {{3^3} - 3.1.3} \right] + {1^2} = - 31\end{array}\)
Ta có \({S^2} = {\left( { - 1} \right)^2} = 1 \ge 4P = - 124\)
\( \Rightarrow 2{x_1} - {\left( {{x_2}} \right)^2}\) và \(2{x_2} - {\left( {{x_1}} \right)^2}\) là 2 nghiệm của phương trình
\({X^2} - SX + P = 0 \Leftrightarrow {X^2} + X - 31 = 0.\)
Chọn A.
