Cho phương trình x^2 - 2mx + m^2 - m + 3 = 0( 1 ) (m là tham số) a) Giải phương trình ( 1 ) với
Câu hỏi
Nhận biếtCho phương trình \({x^2} - 2mx + {m^2} - m + 3 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\) (\(m\) là tham số)
a) Giải phương trình \(\left( 1 \right)\) với \(m = 4\).
b) Tìm giá trị của \(m\) để phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm \({x_1}.{x_2}\) và biểu thức \(P = {x_1}{x_2} - {x_1} - {x_2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
a) Giải phương trình \(\left( 1 \right)\) với \(m = 4\).
Với \(m = 4\) thì \(\left( 1 \right)\) trở thành \({x^2} - 8x + 15 = 0\).
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 5x + 15 = 0 \Leftrightarrow x\left( {x - 3} \right) - 5\left( {x - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\x - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 5\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy với \(m = 4\) thì phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {3;5} \right\}\).
b) Tìm giá trị của \(m\) để phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm \({x_1}.{x_2}\) và biểu thức \(P = {x_1}{x_2} - {x_1} - {x_2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta ' = {m^2} - \left( {{m^2} - m + 3} \right) \ge 0 \Leftrightarrow m - 3 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge 3\).
Khi đó theo định lí Vi-ét ta có: phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} = {m^2} - m + 3\end{array} \right.\).
Ta có: \(P = {x_1}{x_1} - {x_1} - {x_2} = {x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) = {m^2} - m + 3 - 2m = {m^2} - 3m + 3 = m\left( {m - 3} \right) + 3\)
Với \(m \ge 3\) thì \(m\left( {m - 3} \right) \ge 3.0 = 0 \Rightarrow P \ge 3\). Dấu “=” xảy ra khi \(m = 3\).
Vậy \({P_{\min }} = 3\) khi \(m = 3\).
Chọn A.
