Cho đa thức P( x ) = x^2 + ax + b;Q( x ) = x^2 + cx + d với abcd là các số thực. 1. Tìm a và b để 1
Câu hỏi
Nhận biếtCho đa thức \(P\left( x \right) = {x^2} + ax + b;\,\,Q\left( x \right) = {x^2} + cx + d\) với \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d\) là các số thực.
1. Tìm \(a\) và \(b\) để \(1\) và \(a\) là nghiệm của phương trình \(P\left( x \right) = 0\).
2. Giả sử phương trình \(P\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) và phương trình \(Q\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm \({x_3},\,\,{x_4}\) sao cho \(P\left( {{x_3}} \right) + P\left( {{x_4}} \right) = Q\left( {{x_1}} \right) + Q\left( {{x_2}} \right)\). Chứng minh \(\left| {{x_2} - {x_1}} \right| = \left| {{x_4} - {x_3}} \right|\).
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
1. Tìm \(a\) và \(b\) để \(1\) và \(a\) là nghiệm của phương trình \(P\left( x \right) = 0\).
Ta có : \(P\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} + ax + b = 0\).
Điều kiện để phương trình có nghiệm là \(\Delta = {a^2} - 4b \ge 0 \Leftrightarrow {a^2} \ge 4b\).
Do \(1\) và \(a\) là nghiệm của phương trình \(P\left( x \right) = 0\) nên ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}1 + a + b = 0\\{a^2} + {a^2} + b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b + 1 = 0\\2{a^2} + b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2{a^2} + a + 1 = 0\\b = - 2{a^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {a - 1} \right)\left( {2a + 1} \right) = 0\\b = - 2{a^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = - \frac{1}{2}\end{array} \right.\\b = - 2{a^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{2}\\b = - \frac{1}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)
Vậy để \(1\) và \(a\) là nghiệm của phương trình \(P\left( x \right) = 0\) thì \(a = 1;\,\,b = - 2\) hoặc \(a = - \frac{1}{2};\,\,b = - \frac{1}{2}\).
2. Giả sử phương trình \(P\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) và phương trình \(Q\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm \({x_3},\,\,{x_4}\) sao cho \(P\left( {{x_3}} \right) + P\left( {{x_4}} \right) = Q\left( {{x_1}} \right) + Q\left( {{x_2}} \right)\). Chứng minh \(\left| {{x_2} - {x_1}} \right| = \left| {{x_4} - {x_3}} \right|\).
Phương trình \(P\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) và phương trình \(Q\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm \({x_3},\,\,{x_4}\) nên áp dụng định lí Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - a\\{x_1}{x_2} = b\end{array} \right.,\,\,\left\{ \begin{array}{l}{x_3} + {x_4} = - c\\{x_3}{x_4} = d\end{array} \right.\).
Theo bài ra ta có:
\(\begin{array}{l}P\left( {{x_3}} \right) + P\left( {{x_4}} \right) = Q\left( {{x_1}} \right) + Q\left( {{x_2}} \right)\\ \Leftrightarrow x_3^2 + a{x_3} + b + x_4^2 + a{x_4} + b = x_1^2 + c{x_1} + d + x_2^2 + c{x_2} + d\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_3} + {x_4}} \right)^2} - 2{x_3}{x_4} + a\left( {{x_3} + {x_4}} \right) + 2b = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} + c\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2d\\ \Leftrightarrow {c^2} - 2d - ac + 2b = {a^2} - 2b - ac + 2d\\ \Leftrightarrow {c^2} - 4d = {a^2} - 4b\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_3} + {x_4}} \right)^2} - 4{x_3}{x_4} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2}\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_3} - {x_4}} \right)^2} = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \left| {{x_4} - {x_3}} \right| = \left| {{x_2} - {x_1}} \right|\,\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)
Chọn D.
