Cho biểu thức: P = x căn y + y căn x căn xy - ( căn x + căn y )^2 - 4 căn xy căn x -
Câu hỏi
Nhận biếtCho biểu thức: \(P = \frac{{x\sqrt y + y\sqrt x }}{{\sqrt {xy} }} - \frac{{{{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}^2} - 4\sqrt {xy} }}{{\sqrt x - \sqrt y }} - y\) (với \(x > 0,\;\;y > 0,\;\;x \ne y\)).
a) Rút gọn biểu thức \(P.\) b) Chứng minh rằng \(P \le 1.\)
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Cho biểu thức: \(P = \frac{{x\sqrt y + y\sqrt x }}{{\sqrt {xy} }} - \frac{{{{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}^2} - 4\sqrt {xy} }}{{\sqrt x - \sqrt y }} - y\) (với \(x > 0,\;\;y > 0,\;\;x \ne y\)).
a) Rút gọn biểu thức \(P.\)
Điều kiện: \(x > 0,\;\;y > 0,\;\;x \ne y.\)
\(\begin{array}{l}P = \frac{{x\sqrt y + y\sqrt x }}{{\sqrt {xy} }} - \frac{{{{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}^2} - 4\sqrt {xy} }}{{\sqrt x - \sqrt y }} - y\\\;\;\; = \frac{{\sqrt {xy} \left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}}{{\sqrt {xy} }} - \frac{{x + 2\sqrt {xy} + y - 4\sqrt {xy} }}{{\sqrt x - \sqrt y }} - y\\\;\;\; = \sqrt x + \sqrt y - \frac{{{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}^2}}}{{\sqrt x - \sqrt y }} - y\\\;\;\; = \sqrt x + \sqrt y - \left( {\sqrt x - \sqrt y } \right) - y\\\;\;\; = \sqrt x + \sqrt y - \sqrt x + \sqrt y - y\\\;\;\; = 2\sqrt y - y.\end{array}\)
b) Chứng minh rằng \(P \le 1.\)
Ta có: \(P \le 1\)
\( \Leftrightarrow 2\sqrt y - y \le 1 \Leftrightarrow 1 - 2\sqrt y + y \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {\sqrt y - 1} \right)^2} \ge 0\;\;\forall y > 0.\)
Vậy \(P \le 1.\)
Chọn B.
